선호관계와 효용함수
어떤 소비자의 선호체계가 주어졌다는 것은 수많은 상품묶음의 짝들에 대해 위에서 본 >~를 통한 관계가 설정되어 있음을 뜻한다. 즉 A가 최소한 B만큼 좋고, B는 최소한 C만틈 좋고, C는 최소한 D만큼 좋다는 등 수없이 많은 선호관계들이 설정되어 있다는 말이다. 이렇게 주어진 선호체계에 기초해 소비자가 어떤 상품묶음을 선택하게 될지 알아낼 수 있다.
소비자의 선택행위를 효율적으로 분석하기 위해서 소비자의 선호체계를 좀더 구체적이고 체계적으로 표현할 수 있는 방법이 효용함수(utility function)이다.
효용함수란 특정한 상품묶음이 소비자에게 주는 만족감의 정도를 하나의 실수(real number)로 나타내 주는 함수이다.
예를 들어 U(w)란 횽용함수가 있다. 실수로 표현된 이 함수의 값은 W란 상품묶음이 주는 만족감 또는 효용의 크기를 나타낸다. 이런 함수가 존재한다면 아무리 많은 상품묶음이 고려 대상이 된다 하더라도 별다른 힘을 들이지 않고 소비자가 선호하는 순서대로 이들을 배열할 수 있게 된다. 각 상품묶음이 주는 효용수준이 하나의 숫자로 계산되어 나오므로, 이 숫자의 크기대로 상품묶음들을 배열하면 되기 때문이다.
W, Z 두 상품묶음 사이에 W>~Z라는 선호관계가 존재한다고 할 때, U(W)≥U(Z)가 성립하고, 또한 그 역도 성립한다면 ">~라는 선호관계를 U라는 효용함수로 대표할 수 있다."고 말한다.
그런데 선호관계를 효용함수로 대표시키는 것이 모든 경우에 가능하지는 않다. 일정한 성격들을 갖추고 있는 선호체계만이 효용함수로 대표될 수 있기 때문이다.
선호체계의 공리
소비자의 선호체계가 효용함수로 대표될 수 있으려면 몇 가지 성격을 갖추고 있어야 한다. 분석의 편의를 위해 소비자의 선호체계가 이 성격들을 다 갖추고 있다는 가정하에 가장 기본이 되는 가정을 공리(axiom)라 한다. 결국 소비자이론은 다음과 같은 세 가지 공리로 부터 출발한다고 볼 수 있다.
완비성(completenness): 어떤 두 개의 상품묶음을 놓고 비교한다 하더라도, 하나가 다른 것보다 더 선호된다든가 아니면 양자 사이에 아무런 차이를 느끼지 못한다는 판단을 내릴 수 있다.
완비성 공리는 모든 가능한 상품묶음의 짝에 대해 선호관계를 설정할 수 있음을 뜻한다. 즉 소비자가 '나는 이 둘 중에서 어느 쪽이 더 좋은지 판단할 수 없다.'고 말하면서 꼬리를 빼는 경우가 존재하지 않음을 뜻한다. 소비자가 자신도 어느 쪽이 더 나은지 판단할 수 없다면 그가 효용극대화를 위해 어떤 선택을 할 것인지 예측할 수 없게 된다. 그렇기 때문에 소비자의 선호체계에 완비성이 있다는 가정을 세울 필요가 있다.
이행성(transitivity): 세 개의 상품묶음 A, B, C가 있다고 하면 소비자가 A를 최소한 B만큼 좋아하는 동시에 B를 최소한 C만큼 좋아하고 있다면, 이는 A를 최소한 C만큼 좋아하는다는 것을 뜻한다.
이행성 공리는 소비자의 선호에 일관성(consistency)이 있다는 것을 뜻한다. 어떤 사람에게 사과와 배중 어느 쪽을 더 좋아하느냐고 물었더니, 사과라는 대답이 나왔다고 하면 그 다음 감과 사과 사이에서는 어떤지 물어보았더니 감이라고 대답했다. 마지막으로 배와 감 사이에서는 어떻냐는 질문에, 뜻밖에도 배라고 대답했다. 이 대답에는 일관성이 결여되어 있는 셈인데, 일관성 없는 선호를 가진 사람은 합리적인 선택을 할 수 없을 것이다. 이행성 공리는 그와 같은 일관성 없는 선호를 배제한다는 의미를 갖는다.
연속성(continuity): 소비자의 선호가 변화해 나갈 때 연속적으로 변화해가며 갑작스런 변화는 나타나지 않는다. 다시 말해 두 상품묶음의 양에 아주 작은 차이만 있다면 이들에 대한 소비자의 선호도에도 아주 작은 차이밖에 없다는 말이다.
연속성 공리는 상품묶음에 포함되어 있는 상품의 양이 아주 작은 폭으로 변화해 갈 때 선호관계가 점진적으로 변화할 것을 요구한다.
이상의 세 가지 공리가 만족될 때 소비자의 선호체계는 연속적인 효용함수로 대표될 수 있음이 입증되어 있다.
