효용함수 의미
효용함수는 각 상품묶음이 주는 효용의 수준을 구체적인 숫자로 나타내 준다는 점에서 매우 편리한 분석수단이 된다.
앞서 제시한 완비성 공리, 이행성 공리, 연속성 공리 등은 결국 합리적인 선호체계라면 기본적으로 갖추고 있어야 할 성격에 관한 요구를 뜻한다. 만약 이 공리들이 모두 충족되어 있다고 가정한다면, 이제는 추상적인 선호체계의 세계를 떠나 구체적인 효용함수를 다룰 수 있다.
한가지 주의할 점 - 한 선호체계를 대표하는 효용함수가 유일하지는 않다는 사실.
예를 들어 A라는 상품묶음은 쌀 5단위와 옷 2단위로 구성되어 있는 한편, B는 쌀 3단위와 옷 7단위로 구성되어 있다. 만약 어떤 소비자가 상품묶음 B를 A보다 더 선호한다면, 효용함수는 B의 효용을 나타내는 숫자가 A의 그것보다 더 크다는 것을 보여주어야 한다. 그런데 한 효용함수(U1)가 있어, A에는 5의 함수 값을 부여하고 B에는 15의 함수 값을 부여한다고 하자. 다시 말해 이 효용함수는 A와 B에 각각 다음과 같은 함수 값을 부여한다.
U1(A) = 5, U1(B) = 15
이 효용함수는 B의 효용이 A보다 더 크다고 판정하고 있으므로 소비자의 선호관계를 올바르게 대표하고 있는 셈이다.
그런데 또 다른 효용함수(U2)가 있어 A와 B에 각각 다음과 같은 함수 값을 부여한다고 하자.
U2(A) = 72, U2(B) = 73
이 효용함수도 역시 B의 효용이 A보다 더 크다고 하는 점에서 소비자의 선호관계를 올바르게 대표하고 있다. 그러므로 이 두 효용함수사이에 아무런 실질적 차이가 없다고 할 수 있다.
효용곡면
쌀과 옷의 양이 각각 x y로 주어졌을 때 효용의 수준을 그 둘의 곱으로 나타내는 서수적 효용함수가 있다.
U = xy
그림 4-3
이 효용함수에 따르면, 위의 그림의 A점이 의미하는 상품묶음은 소비자에게 10단위의 효용을 주고, B는 21단위의 효용을 주고 있다. 이처럼 효용함수를 통해 제1상한에 나타나 있는 모든 점들에 대해 그것이 대표하는 상품묶음의 효용수준을 알아낼 수 있다.
이 결과를 그림으로 옮겨서 3차원의 그림을 얻게 된다. 여기의 수평면은 모두가 생각할 수 있는 모든 상품묶음을 대표하고 있으며, 수직축은 각 상품묶음의 효용수준을 수평면으로부터의 높이로 대표하고 있다. 그림에서 A, B점의 수평면상 위치와 이 점들에서 뻗어 올라간 막대의 길이, 즉 a, b점의 높이를 유심히 관찰해보면, 위에서 보는 곡면은 수평면 위의 모든 점 위에 막대를 그린 다음 이들을 모아 만든 것으로 생각할 수 있다. 이 곡면의 높이가 바로 요용의 크기를 나타낸다는 점에서 이를 효용곡면(utility surface)이라고 부른다.
정리해보자면, 우선 ≥라는 부호로 대표되는 선호관계에 대한 논의에서 출발했다. 선호관계가 네 가지 공리를 만족시킨다고 가정해 이것이 효용함수로 대표될 수 있는 길을 열어 놓았다. 마지막에서 이 효용함수가 다시 효용곡면의 그림으로 옮겨지게 된 것이다.
